Déposez la morue dans une passoire posée dans un grand saladier d'eau froide et laissez-la dessaler pendant 24 heures, en changeant l'eau plusieurs fois.
Mettez la morue dessalée dans une grande casserole d'eau froide, portez à ébullition et faites pocher 10 minutes, hors du feu.
Dans une marmite, faites chauffer 3 c.à s. d'huile. Faites fondre les oignons hachés sans qu'ils colorent. Ajoutez les blancs de poireaux et le céleri coupés en tronçons, la purée de tomate, les gousses d'ail et le bouquet garni.
Faites cuire à feu très vif, mouillez avec 2 litres d'eau et le vin blanc. Ajoutez le safran.
Coupez la morue en morceaux égaux de grosseur moyenne. Incorporez-les à la préparation. Arrosez avec la cuillère d'huile d'olive restante, poivrez.
Ajoutez les pommes de terre épluchées et coupées en grosses rondelles et faites cuire à gros bouillon 20 minutes.
Servez dans la marmite de cuisson, parsemé de persil.